Kapitel 9

Jedes Offline- und Online Casino Spiel hat einen Hausvorteil: Wenn eine Person 100€ setzt, gibt der Hausvorteil die Rendite an, die der Spieler durchschnittlich erhält. Beim Roulette bekommt der Spieler ungefähr 94,74 Euro pro 100€-Einsatz zurück. Beim Blackjack erhält der Spieler ungefähr 99,54€ zurück. Bei Three Card Poker (nur Ante / Play) sind es ungefähr 96,63€. Diese Werte sind die „durchschnittliche Rendite“, die der Spieler erhält, wenn er einen Anfangseinsatz von 100€ macht.

RTP

Natürlich bekommt ein Spieler am Ende einer Runde nie genau 94,74€, 99,54€ oder 96,63€ zurück. Er könnte seinen gesamten Einsatz in Höhe von 100€ verlieren, er könnte weder gewinnen noch verlieren oder er könnte 200€, 300€ oder einen ganz anderen Betrag mit nach Hause nehmen. Wenn der Spieler beispielsweise beim Roulette 100€ auf die 34 setzt und diese trifft, gewinnt er 3.500€. Wenn ein Blackjack-Spieler vier Hände spielt, bei jeder verdoppelt und dann alle aufgrund eines Blackjacks des Dealers verliert, sind das insgesamt 800€, die er in einer einzigen Hand verloren hat. Jedes Mal, wenn eine Runde abgeschlossen ist, ist der Betrag, den der Spieler tatsächlich gewinnt oder verliert, ein Wert, der normalerweise von der erwarteten durchschnittlichen Rendite abweicht. Langfristig werden sich diese unterschiedlichen Renditen ausgleichen. Die durchschnittliche Rendite ist das Verhältnis der Summe aller Renditen in Bezug auf die Summe aller anfänglichen Einsätze.

Wenn Sie messen möchten, wie stark die verschiedenen Renditen in einzelnen Runden eines Casinospiels von der durchschnittlichen Rendite abweichen, brauchen Sie die Varianz und die Standardabweichung.

Die Standardabweichung von bestimmten Daten kann als „durchschnittliche Differenz eines Datenwerts vom Durchschnitt der Daten“ betrachtet werden. Es ist üblich, den griechischen Buchstaben σ zu verwenden, um die Standardabweichung zu bezeichnen. Ein Datenwert bedeutet ein kleiner Teil einer der Daten. Einige der Datenwerte liegen unter dem Durchschnitt, einige der Datenwerte sind größer als der Durchschnitt und einige können dem Durchschnitt entsprechen. Jeder Datenwert hat eine bestimmte Differenz vom Durchschnitt der Daten. Hier geht es darum, die „durchschnittliche Differenz“ vom eigentlichen Durchschnitt zu ermitteln.

Die Standardabweichung hat einen technischen Aspekt, der sich aus dem ergibt, was bedeutet, den „Durchschnitt“ zu ermitteln. Wir veranschaulichen diese Technik, indem wir zunächst zwei Methoden betrachten, um den Durchschnitt der Werte X und Y zu ermitteln.

Eine Möglichkeit, den Durchschnitt von zwei Werten zu berechnen, ist folgender: (X + Y) / 2. Beispielsweise ist bei X = 3 und Y = 5 der Durchschnitt (3 + 5) / 2 = 8/2 = 4. Diese Methode zur Berechnung des Durchschnitts wird als Berechnung des "arithmetischen Mittels" bezeichnet.

x_y

Eine andere Möglichkeit, den Durchschnitt zweier Werte X und Y zu ermitteln, besteht darin, die Quadratwurzel des Durchschnitts der Summe der Quadrate zu ziehen. Das heißt, der Durchschnitt ist sqrt ((X2 + Y2) / 2). Zum Beispiel ergibt der zweite Weg mit X = 3 und Y = 5 sqrt ((32 + 52) / 2) = sqrt (34/2) = 4,12. Beachten Sie, dass dies etwas größer als das arithmetische Mittel von 4 ist. Diese Methode zur Berechnung des Durchschnitts wird als Berechnung des "quadratischen Mittelwerts" bezeichnet.

Bei mehr Werten wird eine ähnliche Methode verwendet, um diese Durchschnittswerte zu berechnen. Beispielsweise ist bei den Werten 3, 7, 8, 2 das arithmetische Mittel (3 + 7 + 8 + 2) / 4 = 5. In ähnlicher Weise ist das quadratische Mittel sqrt ((32 + 72 + 82 + 22)). / 4) = sqrt ((9 + 49 + 64 + 4) / 4) = sqrt (126) / 4 = 5,61. Beachten Sie erneut, dass der quadratische Mittelwert etwas größer als der arithmetische Mittelwert ist. Für die Standardabweichung wird der Durchschnitt unter Verwendung der zweiten Methoden berechnet. Der Grund ist, dass einige der Theoreme auf subtilen Eigenschaften beruhen, die das quadratische Mittel hat, aber das arithmetische Mittel nicht.

BERECHNUNG DER STANDARDABWEICHUNG VON MEHREREN DATEN:

Mittelwert
  1. Ermitteln Sie das arithmetische Mittel der Daten. 
  2. Ermitteln Sie die Differenz jedes Werts zum arithmetischen Mittel. 
  3. Quadrieren Sie jede Differenz. 
  4. Berechnen Sie den Mittelwert der quadrierten Werte. 
  5. Nehmen Sie die Quadratwurzel des Wertes aus Schritt 4.

BEISPIELSWEISE WIRD DIE STANDARDABWEICHUNG DER WERTE 3, 7, 8 UND 2 WIE FOLGT BERECHNET:

  1. Das arithmetische Mittel ist (3 + 7 + 8 + 2) / 4 = 5. 
  2. Die Differenz von jeder Zahl beträgt 5: -2, 2, 3 und -3. 
  3. Die Quadrierung dieser Differenzen ergibt die Werte 4, 4, 9 und 9. 
  4. Das arithmetische Mittel der quadrierten Werte ergibt (4 + 4 + 9 + 9) / 4 = 26/4. 
  5. Die Quadratwurzel des aus Schritt 4 erhaltenen Wertes ist sqrt (26/4) = 2,55.

Die Standardabweichung der Daten 3, 7, 8 und 2 beträgt also 2,55. Wenn diese Definition auf ein Casinospiel angewendet wird, ist die Standardabweichung „die durchschnittliche Differenz zwischen dem Ergebnis einer Runde und der durchschnittlichen Rendite (theoretischer RTP) für dieses Spiel“. Mit anderen Worten, wir betrachten die verschiedenen Renditen eines Casinospiels, die unterschiedlichen Ergebnisse, die für den Spieler möglich sind, und fragen: "Wie weit sind diese Renditen im Durchschnitt von der erwarteten theoretischen Rendite entfernt?" Die Antwort ist die "Standardabweichung". Wie bereits erwähnt, bezeichnen wir diesen Wert mit σ. Neben der „Standardabweichung“ werden üblicherweise die Konzepte der „Varianz“ und der „Volatilität“ beschrieben. Varianz ist definiert als das Quadrat der Standardabweichung, d.h. Varianz = σ2 (hoch 2). Dies ist der Wert, den Sie in Schritt 4 bei der Berechnung der Standardabweichung erhalten. Der Zweck der Varianz besteht darin, dass viele mathematische Berechnungen aus technischen Gründen einfacher sind, wenn sie auf die Varianz angewendet werden.

Varianz

Wir werden das Wort „Varianz“ beiläufig verwenden, mit dem Verständnis, dass es tatsächlich dasselbe misst wie die Standardabweichung: Nehmen Sie einfach die Quadratwurzel der Varianz, um die Standardabweichung zu erhalten. Einer der vielen Gründe, warum Autoren, Spieler, Casinobetreiber und Spieleentwickler das Wort "Varianz" bevorzugen, ist, dass es kürzer, einfacher zu schreiben, weniger technisch klingend und weniger Silben als "Standardabweichung" hat. Es ist leichter zu sagen, dass ein Spiel eine „hohe Varianz“ aufweist als eine „hohe Standardabweichung“. Schließlich wird die Volatilität je nach Kontext häufig als Synonym für die Standardabweichung oder die Varianz verwendet. Die Volatilität wird auch informell verwendet, um den Grad der Unvorhersehbarkeit bei z.B. Glücksspiel zu beschreiben. Sätze wie „hohe Volatilität“ werden normalerweise auf Dinge aus dem Finanzsektor wie Aktien mit großen Schwankungen angewendet. In ähnlicher Weise deutet eine „geringe Volatilität“ auf weniger Schwankungen hin. Je größer der Wert der Standardabweichung (Varianz, Volatilität) ist, desto stärker weichen die Daten vom Durchschnitt ab. Eine Standardabweichung (Varianz, Volatilität) von Null bedeutet, dass jedes Datenelement den gleichen Wert wie der Durchschnitt aller Daten hat. Wir werden diese Probleme untersuchen, indem wir einen Blick auf ein Beispiel werfen.

Angenommen, Sie arbeiten ganz regulär und erhalten 1.500€ pro Woche. Sie verlassen sich schnell auf die Beständigkeit dieses Einkommens. Sie treffen Entscheidungen über Einkäufe, Urlaub, Versicherungen und andere Angelegenheiten, durch Ihr Wissen, wie viel Bargeld Sie an einem bestimmten Datum erhalten. Immer wenn die Datenpunkte gleich sind, ist die Standardabweichung Null. Da der einzige Datenpunkt 1.500 Euro beträgt, ist Ihr durchschnittliches Gehalt jeden Freitag 1.500€. Die Standardabweichung beträgt = 0,00€. 

1. Angenommen, Sie werfen jeden Freitag einen einzelnen sechsseitigen Würfel, um Ihr wöchentliches Gehalt zu bestimmen. Ihr Gehalt beträgt 0€, wenn eine "1" gewürfelt wird; 500€, wenn eine "2" gewürfelt wird; 1.000€, wenn eine „3“ gewürfelt wird; 2.000€, wenn eine "4" gewürfelt wird; 2.500€, wenn eine „5“ gewürfelt wird; und 3.000€, wenn eine "6" gewürfelt wird. Dann ist Ihr durchschnittliches Gehalt: (F0€ + 500€ + 1.000€ + 2.000€ + 2.500€ + 3.000€) / 6 = 1.500€. Unter Verwendung der oben angegebenen Schritte 1 bis 5 beträgt die Standardabweichung σ = 1.080,23 Euro.

2. Angenommen, Sie werfen jeden Freitag eine Münze. Bei Kopf, erhalten Sie 3.000€ und bei Zahl bekommen Sie nichts. Ihr durchschnittliches Gehalt liegt erneut bei 1.500 Euro. Auf lange Sicht verdienen Sie also den gleichen Betrag. Die Standardabweichung beträgt σ = 1.500,00 Euro.

3. Angenommen, Sie werfen jeden Freitag einen einzelnen sechsseitigen Würfel, um Ihr wöchentliches Gehalt zu bestimmen. Ihr Gehalt beträgt 0€, wenn eine 1, 2, 3, 4 oder 5 kommt, aber Sie erhalten 9.000€, wenn Sie eine 6 würfeln. Ihr durchschnittliches Gehalt beträgt (0€ + 0€ + 0€ + 0€ + 0€ + 9.000€) / 6 = 1.500 Euro. Die Standardabweichung beträgt σ = 3.354,10 Euro.

4. Nehmen wir schließlich an, Sie würfeln jeden Freitag mit zwei Würfeln. Wenn die Summe 12 ist, erhalten Sie 54.000 Euro. Für jede andere Summe der beiden Würfel erhalten Sie 0€. Sie können es ausrechnen oder nicht, aber im Durchschnitt beträgt Ihr Gehalt 1.500 Euro pro Woche. Die Standardabweichung beträgt σ = 8.874,12€.

Es wäre mir sehr unangenehm, einen Job zu haben und nicht zu wissen, ob ich am Freitag bezahlt werde oder nicht. Ich möchte die Sicherheit haben, dass 1.500€ am Ende der Woche auf meinem Konto sind. Wenn ich mit der geringsten Volatilität spielen wollte, wäre Methode 1 meine Wahl. Wenn ich mit der größten Volatilität spielen wollte, wäre Methode 4 meine Wahl. Die meisten von uns wollen überhaupt keine Abweichungen, wenn es um ihre tägliche Arbeit geht. Wenn Leute ein Casinospiel spielen, sind sie bereit, dem Casino einen bestimmten Bruchteil ihrer Einsätze zu überlassen, um eine Erfahrung mit der Varianz zu machen, die ihrem Komfortniveau entspricht. Das Produkt, das der Kunde kauft, ist die Varianz und der damit verbundene Adrenalinschub. Niemand würde eine Slot ohne Varianz spielen, bei der jedes Mal, wenn am Griff gezogen wird, 5 Cent bei einem Einsatz von 1€ verloren gehen. Genauso wenig würden es Spieler genießen, 1€ bei einer Maschine zu setzen, die einen Hauvorteil und eine Varianz von 0% hat. Beide Null-Varianz-Spiele klingen nicht wirklich vorteilhaft. Es gibt jedoch Roulette-Spieler, die ohne Varianz spielen - sie setzen auf alle 38 Zahlen den gleichen Einsatz. Dieses System hat einen Verlust von knapp 5 Cent pro eingesetztem Euro. Spieler tun dies zum Beispiel, um kostenlose Getränke oder andere Comps zu verdienen. Ebenso ist das gleichzeitige Spielen des Bankiers und des Spielers beim Baccarat oder sowohl der Pass- als auch der Don't Pass Bet in Craps Situationen mit sehr geringer Volatilität: In den meisten Runden geht ein Betrag verloren, der dem Hausvorteil entspricht.

SCHAUEN WIR UNS DIE STANDARDABWEICHUNG FÜR ZWEI LOTTERIEN AN

Lotterie 1. Für 9 Datenpunkte haben wir einen Wert von 100.000 Euro als Datenwert und für 999.991 Datenpunkte haben wir einen Wert von 0 Euro als Datenwert. Die Standardabweichung beträgt σ = 300,00 Euro (die Varianz beträgt σ2 = 89.999,19 Euro).

Lotterie 2. Für 900.000 Datenpunkte haben wir einen Wert von 1 Euro als Datenwert und für 100.000 Datenpunkte einen Wert von 0 Euro als Datenwert. Die Standardabweichung beträgt σ = 0,30 Euro (die Varianz beträgt σ2 = 0,09 Euro).

Für die meisten Spieler ist die Varianz für Lotterie 1 zu hoch und die Varianz für Lotterie 2 zu niedrig. Spieler mögen eine gewisse Varianz in ihren Casinospielen. Hohe Varianz zahlt sich manchmal aus, aber eine niedrige Varianz fast nie. So wie Kunden keine Varianz wünschen, wenn dies Teil ihres Einkommens ist, möchten Kunden eine gewisse Varianz, wenn dies Teil eines Spiels ist. Für die meisten von uns beträgt unser Komfortniveau für unser wöchentliches Gehalt eine Varianz von 0 Euro. Aber wenn sich ein Spieler in einem Casino an einen Tisch setzt, dreht sich alles um die Varianz. Varianz schafft Aufregung. Varianz sorgt für einen Adrenalinschub. Varianz ist das Produkt, das zählt.

Über den Autor
Von

erhielt 1983 seinen Ph.D. in Mathematik an der University of Arizona. Eliot war Professor sowohl für Mathematik als auch für Informatik. Eliot zog sich 2009 aus der akademischen Welt zurück. Eliot Jacobson.

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