Langfristig - Was bedeutet der Begriff für die Glücksspielmathematik?
Kapitel 11 Intro

Eröffnungsszene des Theaterstücks „Rosencrantz and Guildenstern Are Dead“ zeigt die Hauptfiguren, die an einem Experiment zur Wahrscheinlichkeitstheorie beteiligt sind. Rosencrantz und Guildenstern befinden sich auf einem Bergweg, als Guildenstern eine Münze auf dem Weg sieht. Er hebt die Münze auf und wirft sie immer und immer wieder ... Was folgt, ist unwahrscheinlich: Kopf kommt 157-mal hintereinander. Hier ist der abschließende Dialog aus dieser Szene:

Guildenstern und RosencrantzGUILDENSTERN: Es muss das Gesetz des abnehmenden Ertrags sein. Ich spüre, wie der Bann gebrochen wird. (Er wirft eine Münze hoch in die Luft, fängt sie auf und betrachtet sie. Er schüttelt den Kopf.) Nun, eine gleichmäßige Chance.
ROSENCRANTZ: Achtundsiebzig in Folge. Ein neuer Rekord, würde ich annehmen.
GUILDENSTERN: Denkst du wirklich, dass es ein neuer Rekord ist?
ROSENKRANZ: Naja.
GUILDENSTERN: Keine Fragen, kein Zweifel?
ROSENKRANZ: Ich könnte mich irren.
GUILDENSTERN: Keine Angst?
ROSENKRANZ: Angst?
GUILDENSTERN: (Er schleudert eine Münze auf Rosencrantz.) Fürchte dich!
ROSENCRANTZ: (schaut auf die Münze) Neunundsiebzig.
GUILDENSTERN: Ich glaube, ich habe es. Die Zeit ist stehen geblieben. Die einmalige Erfahrung, dass eine Münze einmal gedreht wird, wird wiederholt …
ROSENCRANTZ: Hundertsechsundfünfzig.
GUILDENSTERN: … hundertsechsundfünfzig Mal! Insgesamt zweifelhaft. Oder ein spektakulärer Hinweis auf das Prinzip, dass jede einzelne Münze, die einzeln geworfen wird, genauso wahrscheinlich Kopf wie Zahl anzeigt und daher jedes Mal keine Überraschung hervorrufen sollte.
ROSENKRANZ: Schon wieder Kopf. Ich habe so etwas noch nie gesehen.
GUILDENSTERN: Wir werfen die Münze seit … ich weiß nicht wann. Und in all dieser Zeit sind es einhundertsiebenundfünfzig Münzen, die nacheinander geworfen wurden. Einhundertsiebenundfünfzig Mal kam Kopf, und alles, was Sie tun können, ist mit Ihrem Essen zu spielen!

157-mal hintereinander Kopf zu bekommen, ist ein Ereignis mit einer so geringen Wahrscheinlichkeit, dass sie gerade noch durch eine Excel-Tabellenkalkulation bestimmt werden kann:

P(157 Kopf hintereinander) ? 0.00000000000000000000000000000000000000000000000547382.

Kopf oder ZahlLassen Sie uns die Erfahrung dieser Charaktere in den Kontext der „Langfristigkeit“ stellen. Angenommen, Sie führen ein Experiment durch, bei dem Sie immer wieder eine Münze werfen. Lassen Sie uns zählen, wie oft jeweils Kopf und Zahl auftauchen. Dazu benötigen Sie drei Zählvariablen. Sie lassen "H" die Anzahl der Male bezeichnen, die Kopf erscheint, "T" die Anzahl der Male, die Zahl erscheint, und "N" die Gesamtzahl der Male, die die Münze geworfen wurde.

Viele Menschen glauben fälschlicherweise, dass „sich auf lange Sicht die Zahl von Kopf und Zahl ausgleicht, sodass sie ungefähr gleich sind“. Das ist falsch, denn die Langfristigkeit kann nicht genau definiert werden. Der häufigste Irrglaube über die lange Sicht ist der Glaube, dass letztendlich die Anzahl von Kopf gleich der Anzahl von Zahl sein muss, oder besser gesagt H = T. Basierend auf dieser Überzeugung setzen die Leute mehr auf Kopf, wenn häufig nacheinander Zahl erschienen ist, oder mehr auf Zahl, wenn der umgekehrte Fall eingetreten ist, wobei die Logik verwendet wird, dass die andere Variable aufholen muss. Das ist nicht das Gesetz des Durchschnitts. Dies ist eindeutig nicht das, was „langfristig“ bedeutet. Es ist keine Aussage, dass die Dinge genau richtig herauskommen, wenn genügend Runden des Experiments durchgeführt werden. „Langfristig“ bedeutet einfach, dass das Verhältnis von Realität zu Theorie immer näher an 1 herankommt, je häufiger das Experiment durchgeführt wird. Genauer gesagt beträgt beim Münzwurf Wahrscheinlichkeit für Kopf 0,5. Die Häufigkeit, mit der Sie bei N Würfen Kopf erwarten, ist (0,5) × N. Das ist die Theorie dahinter. Die Realität ist die Variable H, die zählt, wie oft Kopf kam. Die „langfristige“ Aussage besagt also, dass der Bruch:

H / [(0.5) × N]

immer näher an 1 herankommt, wenn N (die Anzahl der Würfe) groß wird. Angenommen, Sie befinden sich wieder in Tom Stoppards Theaterstück und Kopf ist 157-mal hintereinander aufgetaucht. Dann ist H = 157 und N = 157, also ist der fragliche Bruch:

157 / [(0.5) × 157] = 2.0000

Das ist nicht sehr nahe an 1. Was passiert nun, wenn die Münze noch 2.000-mal geworfen wird und sie trotz des beginnenden Dramas für diese 2.000-mal auf die normale Gewichtung von 50:50 zurückfällt? Dann haben Sie nach N = 2.157 Würfen H = 1.000 + 157 = 1.157 und T = 1.000. Die Werte von H und T sind nicht näher zusammengerückt. Was bedeutet das auf lange Sicht gesehen? Der Bruch lautet nun wie folgt:

1,157 / [(0.5) × 2,157] = 1.0728

Sie sehen, dass das anfängliche Problem mit der Münze durch die Stetigkeit der folgenden Ereignisse in den Schatten gestellt wird. Also überwältigt langfristiges normales Verhalten kurzfristige Abweichungen. Das ist der Terminus „auf lange Sicht“ oder "langfristig"!

Lassen Sie uns ein weiteres Beispiel zurücksetzen und von Grund auf neu ausführen. In diesem Fall werde ich Ihnen zeigen, dass die Werte von H und T immer weiter auseinandergehen können, aber „auf lange Sicht“ immer noch richtig funktionieren müssen. Betrachten Sie die folgenden möglichen Ergebnisse für das Werfen einer Münze:

Terminus langfristig oder auf lange Sicht

Und so weiter. Wie Sie sehen können, gehen die Werte von H und T weiter auseinander. Nach N = 20 unterscheiden sich die Werte von H und T um 2. Nach N = 200.000 unterscheiden sich diese Werte um 10. Wenn Sie dieses Muster fortsetzen, sehen Sie, dass H und T niemals gleich sind und dass sie weiter auseinandergehen. Nichtsdestotrotz nähert sich der Anteil, der die lange Sicht beschreibt, immer mehr 1. Das heißt, der Anteil H / N nähert sich immer mehr 1 / 2 und damit der theoretischen Wahrscheinlichkeit Kopf zu bekommen.

AUF LANGE SICHT GESEHEN BEDEUTET ALSO, DASS:

Das Verhältnis sich 1 annähert, wenn die Anzahl der Versuche immer größer wird. Dass dieser Bruch nahe bei 1 liegt, ist nicht dasselbe, als wenn Zähler und Nenner in ihren Werten nahe beieinander liegen. Das ist der schwierige mathematische Punkt, den viele Menschen nur schwer verstehen können. Da dies ein Verhältnis ist, sagt es nichts über die genauen Werte der Variablen aus. Brüche können einem Wert immer näherkommen, auch wenn Zähler und Nenner weiter voneinander entfernt sind.

Zum Beispiel kommt die folgende Reihe von Brüchen immer näher an 1 heran, auch wenn sich der Zähler immer weiter vom Nenner entfernt:

11/10, 102/100, 1,003/1,000, 10,004/10,000, 100,005/100,000 …

Roulette BeispielAuf lange Sicht ist keine mysteriöse Aussage dafür, dass die Dinge ausgeglichen werden müssen. Im Umkehrschluss bedeutet dies nicht, dass Spieler ihre Glückssträhne verlieren müssen, dass Rot und Schwarz gleich oft beim Roulette vorkommen müssen, dass Spielautomaten eher auszahlen, wenn sie es nicht getan haben, dass der Spieler eher Blackjack bekommt. Auf lange Sicht impliziert keine „Ausgeglichenheit“. Es gibt nur den langsamen Marsch von Brüchen, die gegen den erwarteten Wert von 1 konvergieren.

Der Zweck der Varianz besteht darin, ein Gefühl dafür zu vermitteln, wie schnell sich die Brüche 1 nähern. In einem Spiel mit geringer Varianz konvergiert das Verhältnis von Realität zu Theorie sehr schnell gegen 1. Je höher die Varianz, desto mehr Runden werden dafür benötigt. Eine niedrige Varianz entspricht wenigen kurzfristigen Abweichungen, mit anderen Worten, sehr wenigen großen Auszahlungen. Eine hohe Varianz entspricht einer größeren Häufigkeit kurzfristiger Abweichungen, mit anderen Worten, große Auszahlungen sind häufiger. Die Brüche werden immer näher an 1 herankommen, das ist das Gesetz (das sogenannte „Gesetz der großen Zahlen“). Es ist die Reise zur „1“, die dem Spieler die Erfahrung gibt, die er will.

 

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Von
Eliot Jacobson Ph.D