Wahrscheinlichkeit

WAHRSCHEINLICHKEIT

Das Rückgrat der Casino-Mathematik ist die „Wahrscheinlichkeit“. Informell verstehen wir unter Wahrscheinlichkeit eine Zahl, die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass etwas eintritt. Sie wird normalerweise als Bruch oder Dezimalzahl mit einem Wert zwischen 0 und 1 oder als Prozentzahl mit einem Wert zwischen 0 % und 100 % angegeben. Eine Wahrscheinlichkeit von 0 bedeutet, dass das Ereignis niemals eintreten kann. Eine Wahrscheinlichkeit von 1 bedeutet, dass das Ereignis immer eintritt. Es ist beispielsweise unmöglich mit zwei Würfeln eine Summe von 13 zu bekommen. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses 0. Bei einem Münzwurf kommt immer Kopf oder Zahl, also ist die Wahrscheinlichkeit in diesem Fall 1. Würfel und Münzen landen in unserer mathematisch perfekten Welt nie auf der Kante.

Die formale Wahrscheinlichkeitstheorie beginnt mit dem Verständnis dessen, was als „Ergebnismenge“ bekannt ist. Dies ist einfach eine Beschreibung aller möglichen Ergebnisse – alles, was möglicherweise passieren kann. Einige Beispiele:

Wahrscheinlichkeit1. Es gibt 2 Ergebnisse, wenn eine Münze geworfen wird; die Ergebnismenge ist {Kopf, Zahl}.

2. Es gibt 6 Ergebnisse, wenn ein einzelner Würfel geworfen wird; die Ergebnismenge ist {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

3. Es gibt 36 Ergebnisse, wenn zwei Würfel geworfen werden (der erste Würfel und der zweite Würfel ergeben jeweils einen Wert von 1 bis 6, also gibt es 6 × 6 = 36 Ergebnisse). Die Ergebnismenge ist {[1,1], [1,2], [1,3], [1,4], [1,5], [1,6], [2,1], … und so weiter}, oder einfacher, unter Verwendung der Notation von Mengen, ist es {[x,y] | 1 ≤ x ≤ 6 , 1 ≤ y ≤ 6 }.

4. Es gibt 38 Ergebnisse, wenn ein Live Roulette Rad gedreht wird. Die Ergebnismenge besteht aus den Zahlen 1 bis 36, zusammen mit der Null und Doppelnull.

5. Es gibt 52 Möglichkeiten, wie eine einzelne Karte aus einem Deck ausgeteilt werden kann. Die Ergebnismenge besteht aus dem Satz von Kartenwerten (Rang und Farbe).

6. Bei Texas Hold’em gibt es 1.326 Starthände mit zwei Karten. Die Ergebnismenge besteht aus dem Satz von Kartenpaaren.

Viele Experimente haben eine Ergebnismenge, die aufgrund der Natur des Experiments leicht verständlich ist, aber möglicherweise nicht explizit beschrieben wird. Die Beispielbereiche für Casinospiele sind oft sehr groß, was das intuitive Gefühl widerspiegelt, dass zu viele Dinge passieren können, um sie alle zu zählen. Mathematiker müssen sie alle zählen.

  • Es gibt 66.300 Möglichkeiten, wie einem Spieler beim Single-Deck-Blackjack zwei Karten gegen eine aufgedeckte Karte des Dealers ausgeteilt werden können.
  • Es gibt 2.598.960 Möglichkeiten, wie einem Spieler beim Poker 5 Karten ausgeteilt werden können.
  • Es gibt 407.170.400 Möglichkeiten, wie dem Spieler und dem Dealer ihre jeweiligen Drei-Karten-Hände beim Three Card Poker ausgeteilt werden können.
  • Es gibt 55.627.620.048.000 Möglichkeiten, wie zwei Spieler eine Hand Texas Hold’em gegeneinander spielen können, einschließlich ihrer ersten zwei Karten, der drei Karten auf dem Flop und den beiden Karten auf Turn und River. 

Ein „Ereignis“ besteht aus einigen der Dinge, die im Experiment passieren können. Ein Ereignis ist eine Möglichkeit, einige der Dinge zu beschreiben, die in einem Spiel passieren können. Hier sind einige Beispiele für Ereignisse, die einigen der Spiele in der obigen Liste entsprechen:

  • Eine Münze werfen und Kopf bekommen.
  • Zwei Würfel werfen und eine Summe von 7 erhalten.
  • Blackjack gegen ein Ass als Upcard des Dealers ausgeteilt zu bekommen.
  • Als Fünf-Karten-Pokerblatt ein Full House ausgeteilt bekommen.
  • Eine Straße ausgeteilt bekommen, die bei Three Card Poker gegen eine höhere Straße verliert.
  • Bei Texas Hold’em ein Pocket-Pair ausgeteilt bekommen.

Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, müssen Sie zwei Informationen kennen. Zunächst benötigen Sie eine vollständige Zählung der Anzahl der einzelnen Elemente der Ergebnismenge. Zweitens müssen Sie wissen, wie viele einzelne Elemente sich in der Ergebnismenge befinden, die dem Ereignis entsprechen. Einfach ausgedrückt müssen Sie die Größe der Ergebnismenge und die Größe des Ereignisses kennen.

WENN SIE DIESE WERTE KENNEN, DEFINIEREN SIE DIE WAHRSCHEINLICHKEIT DES EREIGNISSES DURCH DIESE GLEICHUNG:

Hold Betrag

Das Wort „Wahrscheinlichkeit“ ist umständlich auszuschreiben. Deshalb ist es üblich, den Buchstaben „P“ zu verwenden, wenn es um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses geht.

Was aus der Wahrscheinlichkeitsgleichung nicht ersichtlich ist, ist, wie die Größe verschiedener Ergebnismengen zu zählen sind. Leider gibt es beim Spielen nur sehr wenige einfache Probleme und diese Zählprobleme können äußerst komplex sein. Für die Fälle, in denen das Zählen einfach ist, können Wahrscheinlichkeiten schnell berechnet werden. Wir werden einige Beispiele durchgehen, um diese Techniken zu demonstrieren. Hoffentlich werden diese Beispiele dazu beitragen, das Konzept der Wahrscheinlichkeit für Casinospiele und einige der Methoden, die verwendet werden, um diese Werte zu ermitteln, zu verdeutlichen.

WAHRSCHEINLICHKEIT BEI EINEM MÜNZWURF

Beim Werfen einer Münze sei H = „Kopf“ und T = „Zahl“. Für einen einzelnen Münzwurf ist die Ergebnismenge {H, T} und enthält zwei Elemente. „Kopf“ zu bekommen, entspricht dem Ereignis {H}, das ein einzelnes Element enthält. Somit ergibt sich:

P(Kopf) = 1 / 2 = 0.5000.

TEXAS HOLD’EM WAHRSCHEINLICHKEITEN FÜR DIE ERSTE UND ZWEITE KARTE

Bei Texas Hold’em gibt es 52 mögliche erste Karten, die Ihnen ausgeteilt werden können, und 51 mögliche zweite Karten, die Ihnen ausgeteilt werden können. Da die Reihenfolge der Karten keine Rolle spielt, teilen Sie durch 2, um das Ganze zu vereinfachen. Die Größe der Ergebnismenge beträgt:

(52 × 51) / 2 = 1326.

Pocket PairPOCKET PAIR

Sie betrachten das Ereignis, ein Paar ausgeteilt zu bekommen. Wenn Sie sich Pocket Pairs genauer anschauen, gibt es sechs mögliche Paare (auch hier spielt die Reihenfolge keine Rolle): {[2C,2D], [2C,2H], [2C,2S], [2D,2H], [2D ,2S], [2H,2S]}. Für jeden Kartenrang gibt es sechs mögliche Paare dieses Ranges. Es gibt 13 mögliche Ränge für das Paar und sechs Möglichkeiten, das Paar mit diesem Rang zu bilden. Das ergibt 13 × 6 = 78 Paare. Die Größe der Ergebnismenge für ein ausgeteiltes Pocket Pair, ist also 13 × 6 = 78. Daraus ergibt sich:

P(Pocket Pair) = 78 / 1326 = 0.0588.

Würfel WahrscheinlichkeitWÜRFEL WAHRSCHEINLICHKEITEN

Beim Würfeln mit zwei Würfeln ist die Ergebnismenge {[x,y] | 1 ? x ? 6 , 1 ? y ? 6 }; Die Ergebnismenge enthält somit 36 Elemente. Das Ereignis „eine Summe von 7 erhalten“ entspricht der Teilmenge der Ergebnismengen {[1,6], [2,5], [3,4], [4,3], [5,2], [6 ,1]}. Diese Teilmenge enthält 6 Elemente. Deswegen:

P(Summe von 7) = 6 / 36 = 0.1667.

Diese Grafik gibt die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Summen zweier Würfel an:

BLACKJACK VS. ASS DES DEALERS WAHRSCHEINLICHKEIT

Blackjack vs Ass des Dealers WahrscheinlichkeitBeim Single Deck Blackjack gibt es (52 × 51) / 2 = 1.326 mögliche Zwei-Karten-Starthände für den Spieler. Bei einer solchen Hand bleiben 50 Karten im Deck übrig, die als offene Karte für den Dealer ausgeteilt werden können. Somit gibt es 1.326 × 50 = 66.300 mögliche Ergebnisse. Die Ergebnismenge hat also die Größe 66.300. Das Ereignis, an dem Sie interessiert sind, ist ein Blackjack gegen ein Ass des Dealers. Ein Blackjack besteht aus einer Bildkarte (16 Stück) und einem Ass (4 Stück). Es gibt 16 × 4 = 64 Möglichkeiten für den Spieler, Blackjack zu erhalten. Es gibt 3 verbleibende Asse aus 50 Karten für die aufgedeckte Dealer-Karte. Es gibt also 16 × 4 × 3 = 192 Möglichkeiten für den Spieler, Blackjack gegen ein aufgedecktes Ass des Dealers zu haben. Das Ereignis eines Spieler-Blackjacks gegen ein Ass des Dealers hat die Ergebnismenge 192. Daraus folgt:

P(Blackjack vs. Ass des Dealers) = 192 / 66,300 = 0.002896.

Dies bedeutet, dass die Situation, in der ein Spieler in Betracht ziehen kann, die „Even-Money-Option“ zu nehmen, etwa 29-mal in jeweils 10.000 Händen oder etwa einmal in 345 Händen auftritt. An einem vollen Tisch und bei einer standardmäßigen Spielgeschwindigkeit entspricht dies etwa einer „Even Money“-Entscheidung eines Spielers pro Tisch und Stunde in einem Single-Deck-Spiel.

Wenn Sie die gleichen Berechnungen für ein Spiel mit sechs Decks durchführen, erhalten Sie eine Ergebnismenge mit der Größe 15.039.960 und ein Ereignis mit der Größe 52.992, sodass:

P(Blackjack vs. Ass des Dealers) = 52,992 / 15,039,960 = 0.003523.

Das bedeutet, dass Even-Money-Situationen etwa 35-mal pro 10.000 Hände oder etwa einmal alle 284 Hände auftreten. Eine Even-Money-Entscheidung tritt in einem Spiel mit einem Schuh weitaus häufiger auf und ist daher potenziell deutlich profitabler für das Casino.

THREE CARD WAHRSCHEINLICHKEITEN

In diesem Beispiel gehen wir die mathematischen Details des Pair-Plus-Einsatzes beim Three Card Poker durch und berechnen alle Wahrscheinlichkeiten.

Zuallererst besteht die Ergebnismenge aus allen unterschiedlichen drei Kartenhänden, die von einem Deck mit 52 Spielkarten ausgeteilt werden können. Es gibt 52 mögliche Werte für die erste Karte, 51 mögliche Werte für die zweite Karte und 50 mögliche Werte für die dritte Karte. Drei Karten können auf sechs mögliche Arten neu angeordnet werden, sind aber immer noch dieselben drei Karten: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB und CBA. Daher ist die Anzahl der unterschiedlichen Hände mit drei Karten:

(52 × 51 × 50) / 6 = 22,100.

EVENT: STRAIGHT FLUSH

Dies ist ein einfaches Beispiel. Um eine Straße zu bekommen, müssen Sie eine der folgenden Hände haben: A23, 234, 345, 456, 567, 678, 789, 89T, 9TJ, TJQ, JQK, QKA. Bei einem Straight Flush müssen alle Karten jedoch von einer Farbe sein. Deshalb gibt es 12 Straßen und jede Straße kann in einer der vier Farben vorkommen, also gibt es 12 × 4 = 48 Möglichkeiten, einen Straight Flush zu bekommen. Somit ergibt sich:

P(Straight Flush) = 48 / 22,100 = 0.002172

Straight Flush

EVENT: DRILLING

Auch hier können Sie die Möglichkeiten wieder selbst zählen. Einen Drilling Zweier können Sie mit den folgenden Händen bekommen: [2C,2D,2H], [2C,2D,2S], [2C,2H,2S] und [2D,2H,2S]. Es gibt vier Drillinge für jeden Rang und es gibt dreizehn Ränge, also gibt es 13 × 4 = 52 Möglichkeiten, einen Drilling zu bekommen. Somit ergibt sich:

P(Drilling) = 52 / 22,100 = 0.002353.

Drilling

EVENT: STRASSE (KEIN STRAIGHT FLUSH)

Sie beginnen damit, alle Straßen zu zählen, einschließlich der Straight Flushes. Eine Straße besteht wie oben aus einem der Handtypen A23, 234, 345, 456, 567, 678, 789, 89T, 9TJ, TJQ, JQK, QKA. Schauen Sie sich insbesondere A23 an. Sie können A, 2 und 3 in allen Farben haben. Es gibt jeweils vier Auswahlmöglichkeiten für die Farbe (Kreuz, Karo, Herz und Pik). Daher besteht die A23-Straße aus dem Ziehen einer Karte aus {AC, AD, AH, AS}, {2C, 2D, 2H, 2S} und {3C, 3D, 3H, 3S}. Es gibt 4 × 4 × 4 = 64 Möglichkeiten, diese drei Karten auszuwählen. Somit gibt es also 64 Straßen bestehend aus Typ A23. Darüber hinaus gibt es 12 Arten von Straßen und jede kann auf 64 Arten passieren. Die Gesamtzahl der Straßen ist also 12 × 64 = 768. Aber diese Zahl beinhaltet die 44 Straight Flush-Hände, die Sie bereits gezählt haben, also müssen Sie diese abziehen. Damit bleiben 768 – 48 = 720 Straßen, die kein Straight Flush sind. Daraus resultiert:

P(Straße) = 720 / 22,100 = 0.032579.

EVENT: FLUSH (KEIN STRAIGHT FLUSH)

Sie müssen alle Hände XYZ zählen, bei denen X, Y und Z die gleiche Farbe haben und die Hand kein Straight Flush ist. Sie können sich zuerst für Kreuz entscheiden. Es gibt 13 Karten im Deck. Sie können jede dieser 13 für die erste Karte, jede der verbleibenden 12 für die zweite Karte und jede der verbleibenden 11 für die dritte Karte auswählen. Da drei Karten auf sechs verschiedene Arten neu angeordnet werden können und die Reihenfolge, in der die Karten ausgeteilt wurden, keine Rolle spielt, folgt daraus, dass die Anzahl der Möglichkeiten, einen Flush in Kreuz zu erhalten, (13 × 12 × 11) / 6 = 286 beträgt. Von diesen 286 Flushes sind 12 ein Straight Flush. Damit bleiben 286 – 12 = 274 Kreuz-Flushes, die kein Straight Flush sind. Da es vier Farben gibt, ergibt sich daraus, dass die Gesamtzahl der Flushes 274 × 4 = 1.096 beträgt. Somit bekommen Se folgendes:

P(Flush) = 1,096 / 22,100 = 0.049593

EVENT: PAAR.

Es gibt 6 Möglichkeiten, ein Paar von beliebigem Rang zu bekommen. Um beispielsweise ein Paar Zweien zu erhalten, muss der Spieler eine der folgenden Kombinationen halten: [2C,2D], [2C,2H], [2C,2S], [2D,2H], [2D,2S] oder [2H, 2S]. Sobald das Paar ausgeteilt wurde, muss die dritte Karte eine Karte mit einem anderen Wert sein (andernfalls wäre die Hand ein Drilling). Es gibt 48 Karten, die nicht denselben Wert wie das Paar haben. Zusammengenommen gibt es 13 mögliche Ränge für das Paar, 6 Paare dieses Ranges und 48 mögliche dritte Karten eines anderen Ranges. Wenn Sie diese miteinander multiplizieren, erhalten Sie insgesamt 13 × 6 × 48 = 3.744 Paare. Daraus folgt:

P(Paar) = 3,744 / 22,100 = 0.169412.

EVENT: NICHTS

Dieser letzte Fall ist der einfachste. Nichts zu bekommen bedeutet einfach, dass die Hand keine Wertigkeit besitzt. Sie ziehen einfach alle obigen Ergebnisse von der Gesamtzahl der Hände ab. Dies ergibt 22.100 – 48 – 52 – 720 – 1.096 – 3.744 = 16.440 Hände, die bei einem Pair-Plus-Einsatz verlieren. Somit ergibt sich folgenden Wahrscheinlichkeit:

P(Nichts) = 16,440 / 22,100 = 0.743891.

TREFFERFREQUENZ/TREFFERHÄUFIGKEIT

Wir veranschaulichen nun, wie die Trefferhäufigkeit berechnet wird. Bei dem Pair-Plus-Einsatz gewinnt ein Spieler jedes Mal, wenn er ein Paar oder besser hat. Die Trefferhäufigkeit entspricht der Wahrscheinlichkeit, ein Paar oder besser ausgeteilt zu bekommen. Um die Anzahl der Elemente in diesem Event zu ermitteln, addieren Sie einfach alle möglichen Gewinnhände. Dadurch erhalten Sie 48 + 52 + 720 + 1.096 + 3.744 = 5.660. Somit ergibt sich:

Trefferfrequenz = P(Gewinn) = 5,660 / 22,100 = 0.256109.

Pair Plus TrefferhäufigkeitDaraus folgt, dass die Trefferhäufigkeit 1 zu 3,9 beträgt. Abgerundet gewinnt der Spieler ungefähr alle vier Mal, wenn er einen Pair-Plus-Einsatz macht.

Beachten Sie schließlich, dass Sie, wenn Sie alle Wahrscheinlichkeiten zusammenzählen, 0,002172 + 0,002353 + 0,032579 + 0,049593 + 0,169412 + 0,743891 = 1,000000 erhalten. Das bedeutet einfach, dass die Wahrscheinlichkeit, dass etwas passieren wird, 1 ist.

Die folgende Abbildung fasst die Wahrscheinlichkeiten zusammen, die Sie gerade berechnet haben, und die Auszahlungen für die verschiedenen Ereignisse unter Verwendung der großzügigsten Auszahlungstabelle, die Shuffle Master für diesen Einsatz anbietet. Es ist üblich, eine Auszahlung von -1 anzugeben, wenn der Spieler verliert, schließlich verliert er seinen Einsatz. In allen anderen Fällen wird der Einsatz des Spielers zurückerstattet und ihm wird der in der Tabelle angegebene Betrag ausgezahlt.

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Von
Eliot Jacobson Ph.D